E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešené úlohy z integrálního počtu - substituční metoda I


V dnešním článku si ukážeme další techniku, která se velmi často používá pro integrování funkcí. Nejdřív si vysvětlíme, v jakých situacích je tato metoda výhodná a pak se podíváme na je­dno­du­chý příklad.
Publikováno 3.11.2014

Použití metody


Představme si, že máme za úkol vypočítat integrál z funkce $f\left(x\right)$, $$\int f\left(x\right)\, {\rm d}x.$$ Substituční metoda pro nás bude výhodná, pokud budeme schopni tento integrál přepsat do tvaru $$\int g\left(x\right)'F\left(g\left(x\right)\right)\,{\rm d}x,$$ jinými slovy, pokud se nám funkci $f$ podaří rozložit takovým způsobem, že ji napíšeme jako součin dvou funkcí $g'$ a $F$, přičemž funkce $F$ je složená funkce a tou vnitřní funkcí je $g$ (tedy primitivní funkce k $g'$). Pokud se nám podaří funkci $f$ takovýmto způsobem rozložit, můžeme zavést substituci a funkci $g$ si označit novým písmenkem (např. $t$), $$g\left(x\right) = t.$$ Když tuto substituci zderivujeme podle $x$, dostaneme $$g\left(x\right)' = \frac{ dt}{ dx},$$ což můžeme zapsat také jako $$g\left(x\right)' {\rm d}x= {\rm d}t.$$ Když použijeme tento vztah spolu s naší substitucí $g = t$, můžeme náš integrál zapsat jako $$\int f\left(x\right)\, {\rm d}x = \int g\left(x\right)'F\left(g\left(x\right)\right)\,{\rm d}x = \int F\left(t\right)\, {\rm d}t.$$

To znamená, že původní integrál z funkce $f$ jsme nahradili novým integrálem z jiné funkce $F$ a došlo také ke změně integrační proměnné, v původním integrálu se integrovalo přes $x$, v novém integrálu se bude integrovat přes proměnnou $t$. Substituční metoda tedy pro nás bude mít význam v případě, že nově vzniklý integrál budeme schopni vypočítat.

Řešené úlohy

Příklad č. 1:

Vypočítejte integrál $$\int 3x^{2}\cos x^{3} \,{\rm d}x.$$

Řešení:


Při pohledu na tento integrál hned vidíme, že tu můžeme identifikovat součin dvou funkcí. První funkce je $3x^{2}$ a druhá je $\cos x^{3}$. Funkci $\cos x^{3}$ navíc můžeme chápat jako složenou funkci, kde ta vnější funkce je kosinus a vnitřní funkce je argument kosinu $x^{3}$. Když tuto vnitřní funkci zderivujeme, dostaneme navíc přesně tu první funkci, která nám v integrálu vystupuje. Můžeme si tedy jednotlivé členy označit $$ x^{3} = g\left(x\right) = t,$$ $$g' = 3x^{2} = \frac{dt}{dx} \quad => \quad 3x^{2} {\rm d}x = {\rm d}t,$$ $$\cos x^{3} = F\left(g\left(x\right)\right) = F\left(t\right) = \cos t.$$ Jinými slovy děláme substituci $x^{3} = t$ a jejím derivováním dostaneme $3x^{2}{\rm d}x = {\rm d}t$. Díky tomu teď můžeme náš integrál přepsat jako $$\int 3x^{2}\cos x^{3} \,{\rm d}x = \int\cos t\, {\rm d}t.$$ Vzniklý integrál na pravé straně už umíme vypočítat a můžeme tedy napsat výsledek $$\int 3x^{2}\cos x^{3} \,{\rm d}x = \int\cos t\, {\rm d}t = \sin t + C = \sin x^{3} + C,$$ kde jsme do výsledku za $t$ dosadili zpět z naší substituce $x^{3}$ a přičetli integrační konstantu $C$.


Vidíme tedy, že substituční metoda pro nás má smysl, pokud nám v integrálu vystupuje také derivace toho výrazu, za který substituci provádíme. Tak jako tady jsme udělali substituci za $x^{3}$ a bylo to výhodné, protože nám v integrálu vystupuje derivace tohoto výrazu $3x^{2}$. Tuto derivaci násobenou diferenciálem ${\rm d}x$ totiž po substituci nahradíme novým diferenciálem ${\rm d}t$.