E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešené úlohy z integrálního počtu - metoda per partes II


V první části jsme si ukázali, jak se dá odvodit vzoreček, který se používá u metody per partes a ukázali jsme si její použití na jednom příkladě. V tomto článku si vyřešíme další typické úlohy, ve kterých se tato metoda používá. U všech následujících příkladů tedy budeme používat vzoreček $$\int f\cdot g' \,{\rm d}x = f\cdot g - \int f'\cdot g\,{\rm d}x.$$

Publikováno 30.10.2014

Řešené úlohy

Příklad č. 2:

Vypočítejte integrál $$\int x\cos x \,{\rm d}x.$$

Řešení:


V integrálu nám vystupuje součin dvou funkcí. První funkce je $x$ a druhá je $\cos x$. K tomu, abychom mohli použít výše zmíněný vzoreček, si musíme nejprve zvolit, kterou z těchto funkcí označíme $f$ a kterou označíme $g'$. Tato volba je čistě na nás a musíme se rozhodnout podle toho, co je pro nás výhodnější. Musíme si tedy vybrat, kterou funkci budeme chtít derivovat a kterou budeme integrovat. Celkem rychle můžeme přijít na to, že když budeme derivovat funkci $x$, tak její derivací dostaneme jedničku a v integrálu na pravé straně už nám bude potom vystupovat pouze jedna funkce, kterou už bude jednoduché zintegrovat. Takže si zvolíme $$f=x,$$ $$g' = \cos x.$$ Následně si vypočítáme, čemu se rovná $f'$ a $g$, abychom to mohli dosadit do našeho vzorečku, $$f' = 1,$$ $$g = \int g' \,{\rm d}x = \int \cos x\, {\rm d}x = \sin x.$$ Teď už máme vše co potřebujeme a můžeme tedy do vzorečku dosadit $$\int x\cos x \,{\rm d}x = x\sin x - \int\sin x\, {\rm d}x.$$ Díky tomu, že nám funkce $f'$ vyšla rovna jedničce, máme teď na pravé straně v integrálu pouze funkci $g$ a tu už umíme zintegrovat $$\int x\cos x \,{\rm d}x = x\sin x - \left(-\cos x\right) + C = x\sin x + \cos x + C.$$

Příklad č. 3:

Vypočítejte integrál $$\int x^{2}\sin x \,{\rm d}x.$$

Řešení:


Opět si zvolíme, kterou funkci si označíme jako $f$ a kterou jako $g'$. Situace je podobná jako v minulém příkladě a bude tedy výhodné zvolit $$f = x^{2},$$ $$g' = \sin x.$$ Rozdíl oproti předchozí úloze je v tom, že $x$ je teď v druhé mocnině, to znamená, že derivací nám nevzikne jednička a tím pádem bude ve vzorečku na pravé straně vystupovat integrál, ve kterém bude stále součin dvou funkcí. To ale nevadí, důležité je, že derivací snížíme mocninu. Vypočítáme si tedy $f'$ a $g$ abychom mohli do vzorečku dosadit, $$f' = 2x,$$ $$g = \int g' \,{\rm d}x = \int \sin x\, {\rm d}x = -\cos x.$$ Po dosazení do vzorečku dostaneme $$\int x^{2}\sin x \,{\rm d}x = -x^{2}\cos x -\int 2x\left(-\cos x\right)\,{\rm d}x = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\, {\rm d}x.$$ Po použití metody per partes jsme tedy na pravé straně dostali integrál, který nejsme sice schpni přímo vypočítat, ale je to integrál, který je jednodušší než byl ten v původním zadání, mocnina u $x$ se totiž snížila. My teď můžeme na vzniklý integrál použít metodu per partes ještě jednou a dopočítat tak finální výsledek. Ve skutečnosti je tento integrál stejný, jaký jsme počítali v příkladě 2, takže sem můžeme rovnou dosadit výsledek z předchozího příkladu $$\int x^{2}\sin x \,{\rm d}x = -x^{2}\cos x + 2\left(x\sin x + \cos x\right) + C.$$ Tento výsledek ještě můžeme převést do jiného tvaru, když vytkneme funkci kosinus, $$\int x^{2}\sin x \,{\rm d}x = \cos x\left(2-x^{2}\right) + 2x\sin x + C.$$

Příklad č. 4:

Vypočítejte integrál $$\int e^{x}\sin x \,{\rm d}x$$

Řešení:


Tento příklad se od těch předchozích tří odlišuje tím, že tu nemáme funkci $x^{n}$, u které bychom mohli derivováním snižovat mocninu. Ať už si zvolíme za $f$ exponenciálu nebo sinus, nikdy nedocílíme toho, aby nám po aplikaci metody per partes vystupovala v integrálu na pravé straně pouze jedna funkce.


Tento příklad budeme řešit trikem, který se u metody per partes často používá. Pokusíme se na pravé straně dostat úplně stejný integrál, který máme na levé straně, ale s opačným znaménkem, a dostaneme tak lineární rovnici, kterou bude snadné vyřešit. Označíme si $$f = e^{x},$$ $$g' = \sin x.$$ Vypočítáme si $f'$ a $g$, $$f' = e^{x},$$ $$g = \int g'\, {\rm d}x = \int \sin x\, {\rm d}x = -\cos x.$$ Teď máme vše, co potřebujeme, abychom mohli dosadit do vzorečku: $$\int e^{x}\sin x \,{\rm d}x = -e^{x}\cos x - \int e^{x}\left(-\cos x\right) {\rm d}x = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,{\rm d}x.$$ Na pravé straně tedy dostáváme integrál, který se od toho původního liší tím, že místo funkce sinus tam teď máme kosinus. Metodu per partes aplikujeme ještě jednou a pokusíme se kosinus změnit zpět na sinus, ale tak, aby nám integrál na pravé straně vystupoval s mínusem. Zvolíme si $f$ a $g'$, $$f = e^{x},$$ $$g' = \cos x.$$ Vypočítáme $f'$ a $g$, $$f' = e^{x},$$ $$g = \int g'\, {\rm d}x = \int \cos x\, {\rm d}x = \sin x.$$ Použijeme vzoreček pro metodu per partes, $$\int e^{x}\sin x \,{\rm d}x = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x \,{\rm d}x.$$ Nyní se nám tedy podařilo to, o co jsme se snažili, že na pravé straně máme stejný integrál jako na straně levé ale s opačným znaménkem. Ten trik, který teď použijeme spočívá v tom, že integrál z pravé strany převedeme na stranu levou a to tak, že ho přičteme k celé rovnici. Aby to bylo názornější, tak si nejprve celý integrál označíme písmenkem $I$ $$I = \int e^{x}\sin x \,{\rm d}x$$ a přepíšeme naši rovnici jako $$I = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - I.$$ Naším cílem teď je vypočítat čemu se rovná $I$. Přičteme ho tedy na levou stranu a dostaneme $$2I = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x.$$ Na pravé straně vytkneme exponenciálu a celou rovnici vydělíme dvěma $$I = \frac{1}{2}e^{x}\left(\sin x - \cos x\right).$$ Rovnici jsme tedy vyřešili, vypočítali jsme čemu se rovná $I$ a tím pádem jsme vypočítali, čemu se rovná náš integrál a můžeme tedy napsat výsledek $$\int e^{x}\sin x \,{\rm d}x = \frac{1}{2}e^{x}\left(\sin x - \cos x\right) + C.$$