E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešené úlohy z integrálního počtu - metoda per partes I

Publikováno 28.10.2014

Odvození metody


Metoda per partes je technika, která se často používá při integrování součinu dvou funkcí. Používá se při ní pravidlo, které se dá velice snadno odvodit, pokud si pamatujeme, jak se počítá derivace součinu dvou funkcí. Pokud máme dvě funkce $f$ a $g$, které se mezi sebou násobí, tak derivaci tohoto součinu spočítáme tak, že nejprve zderivujeme funkci $f$ a vynásobíme to funkcí $g$ a k tomu přičteme derivaci funkce $g$, kterou násobíme funkcí $f$, $$\left(f\cdot g\right)' = f'\cdot g + f\cdot g'.$$ Když teď celý tento vzoreček zintegrujeme, tak dostaneme $$\int\left(f\cdot g\right)' \,{\rm d}x = \int f'\cdot g\,{\rm d}x + \int f\cdot g' \,{\rm d}x.$$ Na levé straně rovnice máme integrál z derivace a výsledek této integrace bude to, co vystupuje v závorce, protože integrál s derivací se jakoby "vyruší". Můžeme to tedy přepsat $$f\cdot g = \int f'\cdot g\,{\rm d}x + \int f\cdot g' \,{\rm d}x.$$ U této rovnice stačí přeskupit členy a vyjde nám vzoreček, na kterém je založena metoda per partes:

$$\int f\cdot g' \,{\rm d}x = f\cdot g - \int f'\cdot g\,{\rm d}x.$$

Použití metody


Jak už jsme uvedli nahoře, tato metoda se nejčastěji používá, pokud integrujeme součin dvou funkcí. To vidíme i na vzorečku, který jsme si odvodili, na levé straně máme integrál, ve kterém vystupuje součin funkce $f$ a $g'$. Vidíme, že na pravé straně vzorečku nám vystupuje také integrál, čili tento vzoreček nám tedy říká, jak vypočítat jeden integrál pomocí integrálu jiného. Pointa spočívá v tom, že na pravé straně nám v integrálu vystupuje derivace jiné funkce než v integrálu na levé straně. Tento vzoreček pro nás tedy bude mít význam v případě, že integrál, který vystupuje na pravé straně, budeme umět vypočítat.


Na pravé straně nám v integrálu vystupují funkce $f'$ a $g$, které získáme tak, že funkci $f$ zderivujeme a funkci $g'$ zintegrujeme. Tato metoda pro nás tedy bude výhodná, pokud jednu z funkcí na levé straně budeme schopni snadno derivovat a tu druhou zase snadno integrovat. Typickým příkladem bývá situace, kdy máme součin funkce $x^{n}$ s goniometrickou funkcí sinus, kosinus nebo s exponenciálou. Funkci $x^{n}$ potom derivujeme a tím snižujeme její exponent a goniometrickou funkci nebo exponenciálu integrujeme. V případě, že je mocnina $n$ větší než $1$, dochází k tomu, že metodu per partes musíme použít opakovaně, protože po jejím prvním použití dostaneme na pravé straně integrál, který stále nejsme schopni přímo vypočítat. Nejlepší bude ukázat si to na konkrétních příkladech.

Řešené úlohy

Příklad č. 1:

Vypočítejte integrál $$\int x e^{x} \,{\rm d}x.$$

Řešení:


V integrálu nám vystupuje součin dvou funkcí. První funkce je $x$ a druhá funkce je $e^{x}$. Použijeme tedy metodu per partes a konkrétně vzoreček, který máme v rámečku. První funkci si označíme jako $f$ a druhou funkci jako $g'$: $$f = x, $$ $$g' = e^{x}.$$ Funkce $g'$ nám tedy představuje derivaci nějaké funkce $g$, kterou v tuto chvíli ještě neznáme, ale můžeme si ji vypočítat tím, že $g'$ zintegrujeme: $$g=\int g' {\rm d}x = \int e^{x} {\rm d}x = e^{x}.$$ Integrací jsme tedy dostali úplně stejnou funkci a to díky tomu, že se exponenciála integrací nemění. V tuto chvíli tedy již známe $f$, $g'$, $g$ a poslední co nám chybí k tomu, abychom mohli použít náš vzorečk je $f'$. Spočítáme si tedy derivaci funkce $f$, což je v našem případě jednoduché, protože derivací $x$ dostaneme jedničku: $$f' = 1.$$ Nyní tedy můžeme do vzorečku dosadit a dostaneme $$\int xe^{x} \,{\rm d}x = xe^{x} - \int e^{x}{\rm d}x.$$ Na pravé straně dostáváme integrál, který už umíme vypočítat a vlastně jsme ho již před chvílí počítali. Můžeme tedy naspat výsledek $$\int xe^{x} \,{\rm d}x = xe^{x} - e^{x} + C= e^{x}\left(x-1\right) + C,$$ kde jsme ještě z obou členů na pravé straně vytkli exponencielu a přičetli k výsledku integrační konstantu $C$.