Rovnice a nerovnice, soustavy rovnic

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

V tomto příkladě máme zadanou soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé. A jeden možný způsob, jak můžeme postupovat je takový, že použijeme dosazovací metodu a tady z té první rovnice si vyjádříme tady tu neznámou x, tu pak dosadíme tady do té druhé rovnice a tak dostaneme už jenom jednu rovnici, která bude pro jednu neznámou. A to x si vyjádříme tak, že tady to dva y převedeme na druhou stranu. Takže nám vyjde, že to x rovná se dva y. A tohle tedy teď dosadíme sem do té druhé rovnice. Tam máme třikrát x a místo toho x teď budeme psát dvě y. Pak je tady plus čtyři y rovná se pět. Třikrát dva, tak to je šest, takže dostáváme šest y plus čtyři y rovná se pět. A tohle teď můžeme sečíst. Šest y plus čtyři y, tak to je deset y a na pravé straně té rovnice je pětka. A teď už stačí tady tu rovnici vydělit tady tou desítkou a vyjde nám, že y rovná se pět desetin a to je zlomek, který ještě můžeme zkrátit a po zkrácení nám vyjde jedna polovina. My jsme tedy vypočítali, čemu se rovná y a to teď můžeme dosadit tady do této rovnice a dopočítáme tak to x. A to bude tedy dva krát jedna polovina a dvakrát jedna polovina je jedna. A ten výsledek teď můžeme zapsat jako uspořádanou dvojici čísel, to jedno číslo bude jednička, to druhé číslo je jedna polovina.

Doslovný přepis videa

Tady v tom příkladě máme zadanou exponenciální rovnici jako dva na x-tou plus dvě na x plus první plus dvě na x plus druhou rovná se padesát šest. My tu rovnici budeme řešit takovým způsobem, že se ji pokusíme převést do tvaru, abychom na obou stranách té rovnice měli stejné číslo, které bude na nějaký exponent. Když se nám tohle podaří, tak pak musí platit také rovnost mezi těmi exponenty. To znamená, že se ji pokusíme převést do tvaru, že na levé straně budeme mít nějaké číslo a na nějaký exponent a na pravé straně budeme mít úplně to stejné číslo na nějaký exponent. Pokud se nám tohle podaří, tak pak musí platit také rovnost mezi těmi exponenty. Tady na té levé straně ale máme teď součet celkem tří členů a ta neznámá x se nachází ve všech těch třech členech. Pro nás je ale tady teď hrozně důležité to, že všechny ty tři členy obsahují stejný základ mocniny a to je v našem případě dvojka. Díky tomu, že ty základy těch mocnin jsou stejné, tak my vlastně budeme schopni tu rovnici velmi snadno vyřešit, protože my teď můžeme ze všech těch tří členů vytknout tady tento výraz dvě na x-tou. A ještě před tím, než to uděláme, tak si přepíšeme tyhle dva členy. Tady máme dvě na x plus první a to my si můžeme napsat tak, že to je dvě na x-tou krát dva a tuhle úpravu můžeme udělat z toho důvodu, že když takhle mezi sebou násobíme výrazy, které mají stejný základ mocniny, tak jako tady v našem případě je to dvojka, tak ty jejich exponenty se sčítají. Tady tu dvojku si můžeme představit jako dva na první a když sečteme tyhle dva exponenty x plus jedna, tak dostaneme přesně to, co máme tady, dvě na x plus jedna. A úplně podobným způsobem si můžeme teď přepsat také tady tento člen, dva na x plus dva rovná se dvě na x-tou krát dvě na druhou. Protože zase když sečteme ty exponenty teď x plus dva, tak dostaneme přesně to, co máme zde. To znamená, že celou tu rovnici si teď přepíšeme. Ten první člen necháme tak, jak je, to je dva na x-tou a pak místo tady toho druhého členu napíšeme tady tohle, dvě na x-tou krát dva a místo toho třetího členu napíšeme tady tohle, to je dvě na x-tou krát dva na druhou a dva na druhou je čtyři a na pravé straně máme padesát šest. A teď už tedy můžeme ze všech těch tří členů vytknout tady to dvě na x-tou. Vytkneme to před závorku a v závorce nám zůstane zbude tady z toho prvního členu jednička, protože dvě na x-tou krát jedna, tak to je dvě na x-tou. Tady z toho druhého členu nám zbude dvojka a z toho třetího členu nám zbude tady tahle čtyřka, to se rovná padesát šest. Teď můžeme sečíst ta čísla v té závorce, jedna plus dva to je tři a tři plus čtyři to je sedm. To znamená, že dostáváme dvě na x-tou krát sedm rovná se padesát šest. Tu rovnici teď vydělíme tady tou sedmičkou a dostaneme dvě na x-tou rovná se padesát šest děleno sedmi a to je osm. A teď už tu rovnici pomalu dostáváme tady do tohoto tvaru, ale ještě ji v tom tvaru nemáme úplně. My bychom potřebovali, aby na obou stranách té rovnice byl stejný základ mocniny. My tady na levé straně máme dvojku, na pravé straně máme ale osmičku. Ale tu osmičku my si můžeme přepsat jako dva na třetí. To znamená, že my to můžeme napsat, že dvě na x-tou rovná se dva na třetí a teď už tu rovnici přesně máme tady v tom tvaru, protože na obou stranách té rovnice ten základ té mocniny je stejný, to je tahle dvojka. Tím pádem můžeme teď napsat rovnici pro ty exponenty a tím v našem případě dostaneme přímo řešení celé naší rovnice, že x rovná se tři.

Doslovný přepis videa

V tomto příkladě máme zadanou exponenciální rovnici 4 na x rovná se 20. A my ty exponenciální rovnice řešíme většinou takovým způsobem, že se je snažíme převést do tvaru, kde na obou stranách té rovnice máme stejné číslo, které je na nějaký exponent. A pokud se nám tu rovnici podaří do takovéhoto tvaru převést, tak potom musí platit také rovnost mezi těmi exponenty a tím my většinou dostaneme nějakou jednodušší rovnici, kterou už býváme schopni vyřešit. Tady tahle rovnce ale, kterou tady máme na tabuli, tak tu my nebudeme schopni přímo do toho tvaru převést, protože na levé straně máme čtverku, která je na nějaký exponent, na pravé straně máme dvacítku. A my teď nejsme přímo schopni tu dvacítku přepsat jako nějakou mocninu čtverky. My kdybychom měli jinou rovnici, čtyři na x rovná se 16, tak bychom byli schopni tu rovnici do toho tvaru převést, protože šestnáctku můžeme přepsat jako čtyři na druhou. Dostali bychom, že 4 na x rovná se 4 na druhou. A tady teď tu rovnici máme právě v tom tvaru, kde na obou stranách té rovnice máme stejné číslo, v tomhle případě je to čtverka, které je na nějaký exponent. A z toho tedy vyplývá, že to x se rovná dvojce. Tady v té naší rovnici my ale na pravé straně máme dvacítku a tu dvacítku my teď nejsme schopni napsat jako čtverku na nějaký exponent, protože čtyři na druhou tak to je 16 a čtyři na třetí, tak to už je 64. A to tedy znamená, že ta neznámá x, tak že to bude nějaké číslo, které je mezi dvojkou a trojkou. No a my pokud teda tu rovnici máme v takovém tvaru, že nejsme schopni ji takovýmto způsobem přepsat, abychom na obou stranách té rovnice měli stejné číslo, které bude na nějaký exponent, tak můžeme postupovat tak, že celou tu rovnici zlogaritmujeme. A když to uděláme, tak budeme mít, že logaritmus 4 na x rovná se logaritmus dvaceti. My jsme to udělali z toho důvodu, že tady ten logaritmus nám teď umožňuje, abychom vzali tady tento exponent, který se nachází tady v tom argumentu tady toho logaritmu a napsali ho před ten logaritmus, to znamená, že celou tuto rovnici teď můžeme napsat tak, že to je x krát logaritmus čtverky rovná se logaritmus dvaceti. Jinými slovy to zlogaritmování té rovnice nám umožňuje, abychom tu neznámou x dostali z toho exponentu dolů. A z této rovnice už je teď jednoduché to x vyjádřit. Tady tu rovnici stačí teď vydělit tady tímto členem a když to uděláme, tak budeme mít, že to x se rovná, na pravé straně bude zlomek, v tom čitateli bude logaritmus dvaceti a ve jmenovateli bude tady tento člen, to je logaritmus čtverky. A my už ten výsledek buď můžeme v tomto tvaru nechat a nebo si můžeme na kalkulačce vypočítat, čemu se rovná logaritmus dvaceti, čemu se rovná logaritmus čtverky a ty výsledky mezi sebou vydělit.

Doslovný přepis videa

Máme tady rovnici pět krát jedna plus x rovná se a krát x a tady to áčko, tak to je reálný parametr. A naším úkolem je teď vyřešit tuto rovnici v závislosti na hodnotě toho parametru a. A my takovouhle rovnici budeme řešit standardním způsobem jakým se řeší lineární rovnice a s tím parametrem budeme zacházet jakoby to bylo libovolné reálné číslo. Ale v jednu chvíli dojdeme do situace, že celou tu rovnici budeme potřebovat vydělit jedním výrazem, který bude obsahovat právě to áčko a tam si potom musíme dát pozor, protože pro nějakou hodnotu toho parametru a by potom mohlo dojít k tomu, že by hodnota toho výrazu, kterým tu rovnici budeme dělit mohla být rovna nule a nulou nesmíme dělit, to znamená, že tam se nám potom to řešení rozpadne na dva případy podle toho, jestli hodnota toho výrazu bude nula, nebo nebude nula. A tady teď nejprve uděláme to, že si roznásobíme tuhle závorku, kterou máme tady na levé straně té rovnice. Pět krát jedna, to je pět a pět krát x, to je pět plus x, rovná se a krát x. Potom tady tento člen, to ax, tak to si převedeme na levou stranu té rovnice, abychom všechny členy, které obsahují tu neznámou x, měli na jedné straně, takže dáme tedy mínus a krát x. A dostaneme, že pět plus pět x mínus ax rovná se nule. A ta neznámá x, tak ta se teď nachází tady v těchto dvou členech a my můžeme udělat to, že to x z obou těch členů vytkneme. A dostaneme, že pět plus x a teď v té závorce po tom vytknutí z toho prvního členu nám zbude pětka a tady z toho druhého členu mínus a. Teď si můžeme ověřit, jestli jsme to vytkli správně, když tu závorku roznásobíme tím x, že x krát pět je pět x a x krát mínus a je tady to mínus ax rovná se nule. Teď tady tu pětku si převedeme na druhou stranu, takže dáme mínus pět. A budeme mít, že x krát pět mínus a rovná se mínus pět. A teď abychom si z této rovnice mohli to x vyjádřit, tak bychom tu rovnici potřebovali vydělit tady touto závorkou. A teď právě docházíme k tomu místu, kde si musíme dát pozor, protože pro nějakou hodnotu toho parametru a teď může skutečně dojít k tomu, že by hodnota té závorky byla rovna nule a pak tou závorkou nesmíme dělit. Takže my teď uděláme to, že budeme za prve předpokládat, že ta závorka, to je tedy pět mínus a se nerovná nule. A pokud se pět mínus a nerovná nule, tak to znamená, že to áčko se nerovná pětce. A pokud se to áčko nebude rovnat pěti, tak máme jistotu ta hodnota té závorky není nula a my tou závorkou můžeme tu rovnici vydělit a vyjde nám, že x rovná se mínus pět lomeno ta závorka a to je tedy pět mínus a. A teď v tom druhém případě, když se to áčko bude rovnat pěti, tak my tady tedy dostáváme teď nulu, protože pět mínus pět je rovno nule a tou nulou nesmíme dělit. Ale my teď můžeme udělat to, že si tedy za to áčko pětku přímo dosadíme a budeme tam mít, že x krát nula rovná se mínus pět. A x krát nula, tak to je nula rovná se mínus pět. A tím my dostáváme rovnost, která ale neplatí, která není splněna, protože nula se nerovná mínus pětce a to tedy znamená, že ta rovnice teď nemá řešení. A tím my docházíme k závěru, že pokud se to áčko bude rovnat pěti, tak ta rovnice nemá řešení a pokud se to áčko nebude rovnat pěti, tak tím řešením je, že x rovná se mínus pět lomeno pět mínus a.

Doslovný přepis videa

V tomhle příkladě máme zadanou nerovnici jako x mínus 3 lomeno 2x plus 1 má být větší než nula. Tady tato nerovnice je v takzvaném podílovém tvaru, což znamená, že ta neznámá x se nachází tady v tom zlomku na té levé straně a tady na pravé straně už máme jenom nulu. My potřebujeme aby tady tento zlomek byl kladný, aby byl větší než nula a toho my můžeme docílit celkem dvěma způsoby. Ten první způsob je takový, že čitatel toho zlomku bude kladný a zároveň bude kladný i ten jmenovatel, pak budeme mít podíl dvou kladných čísel a to je vždycky kladné číslo. No a ta druhá možnost je taková, že čitatel toho zlomku bude záporný, ale zároveň bude záporný i jmenovatel toho zlomku. Pak zase budeme mít podíl dvou záporných čísel a když máme podíl dvou záporných čísel, tak ty mínusy se nám tam navzájem vykrátí a ten výsledek je taky kladný. Takže nejprve budeme uvažovat tu první možnost, kdy čitatel i jmenovatel toho zlomku jsou oba kladné. A to bude tedy znamenat, že x mínus 3 má být kladné a současně má platit, že ten jmenovatel, což je dvě x plus jedna má být také kladný. A tím dostáváme dvě nerovnice, které musí být splněné současně. Řešení té první nerovnice je, že x má být větší než tři, protože tady tu trojku si můžeme převést na druhou stranu a současně má platit, že to dvě x má být větší než mínus jedna. A tuhle nerovnici ještě vydělíme dvěma a vyjde nám, že to x má být větší než mínus jedna polovina. To znamená, že nám vyšlo, že to x má být větší než tři a současně má platit, že x má být větší než mínus jedna polovina. To znamená, že nám vyšlo, že to x má být větší než tři a současně má platit, že x má být větší než jedna polovina. My si teď můžeme nakreslit reálnou osu a podívat se, kde jsou ta čísla. Řekněme, že tady bude mínus jedna polovina a tady bude trojka. A my potřebujeme, aby to x bylo větší než trojka. To znamená, že to x má ležet napravo od té trojky. No a zároveň potřebujeme, aby to x bylo také větší než ta mínus jedna polovina, čili to x musí ležet také napravo od té mínus jedné poloviny. No a tady už je jasné, že to x musí být tady někde z tohohle intervalu, protože když by bylo tady z tohoto intervalu, tak by to x nebylo větší než trojka. A když bude tady z tohoto intervalu, tak je určitě větší než trojka a je taky určitě větší než mínus jedna polovina. A to my teď můžeme napsat pomocí intervalu, že to x má být z intervalu od trojky do nekonečna. A tady ta závorka je kulatá, což znamená, že tady máme ostrou nerovnost, to znamená, že ta trojka do toho intervalu nepatří. Tím jsme si vyřešili tu první variantu, kdy čitatel i jmenovatel toho zlomku jsou oba kladné a teď se podíváme na tu druhou možnost, kdy budou oba záporné. Tím dostaneme dvě podmínky, první podmínka je pro ten čitatel, že x mínus tři má být záporné a současně má platit, že ten jmenovatel, což je dvě x plus jedna je také záporný. Tím zase dostáváme dvě nerovnice, které musí být splněné současně. Ta první nerovnice je, že x má být menší než trojka a současně má platit, že dvě x má být menší než mínus jedna a x má být menší než mínus jedna polovina. A zase si teď můžeme nakreslit reálnou osu, tady bude někde ta mínus jedna polovina a tady bude trojka. My potřebujeme, aby to x bylo menší než mínus jedna polovina, čili musí ležet od té mínus jedné poloviny směrem doleva a zároveň musí platit, že to x bude menší než trojka, takže musí také ležet od té trojky směrem doleva. A tady je teď zase jasné, že to x bude z tohohle intervalu, protože kdyby nebylo, kdyby to x bylo někde tady z tohoto intervalu, tak by to x bylo potom větší než mínus jedna polovina a my potřebujeme, aby bylo menší než mínus jedna polovina. Čili když bude tady z tohoto intervalu, tak bude menší než mínus jedna polovina a bude zároveň i menší než trojka a zase to můžeme zapsat pomocí intervalu, že to x je z intervalu od mínus nekonečna až do mínus jedné poloviny. A zase ta mínus jedna polovina do toho intervalu nepatří, takže tady bude kulatá závorka. A nám tedy teď vyšlo, že když to x bude z tohoto intervalu anebo z tohoto intervalu, tak tady tato nerovnice bude splněná a to my teď můžeme zapsat tak, že ty intervaly sjednotíme a můžeme napsat, že to x má být z intervalu od mínus nekonečna do mínus jedné poloviny sjednoceno ten druhý interval, ten je od trojky do nekonečna. A tady to sjednoceno nám tedy říká, že to x může být buď z tohoto intervalu anebo z tohoto intervalu.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Přepis k tomuto videu zatím není k dispozici.

Doslovný přepis videa

Tady v tom příkladě máme zadanou logaritmickou rovnici logaritmus x na třetí plus logaritmus x na čtvrtou plus logaritmus x na pátou rovná se čtyři. A my tuto rovnici budeme řešit metodou takzvaného odlogaritmování. Ta metoda spočívá v tom, že my se pokusíme obě strany té rovnice převést do tvaru, že budeme mít logaritmus něčeho. Pokud se nám tohle podaří, tak potom musí platit rovnost mezi argumenty těch jednotlivých logaritmů. A k tomu abychom tuto rovnici převedli do tohoto tvaru, tak použijeme několik pravidel, která se používají pro počítání s logaritmy a tím prvním pravidlem bude to, že pokud máme součet několika logaritmů, tak to můžeme přepsat jako logaritmus součinu těch jednotlivých argumentů. To znamená, že tyto tři členy my teď můžeme napsat tak, že to bude jeden logaritmus a v argumentu toho logaritmu teď bude součin těchto argumentů. To znamená, že tady bude x na třetí krát x na čtvrtou krát x na pátou a to se rovná čtyřce. A tady to my teď upravíme takovým způsobem, že my tady násobíme výrazy, které mají stejný základ mocniny a platí, že pokud násobíme mezi sebou výrazy, které mají stejný základ mocniny, tak jejich exponenty můžeme sečíst. To tedy znamená, že tady tohle můžeme přepsat jako x na jeden exponent, který dostaneme tak, že sečteme tahle tři čísla. A bude to tedy logaritmus x a tři plus čtyři je sedm plus pět je dvanáct, to znamená, že to bude x na dvanáctou, rovná se a na pravé straně máme čtyřku. My bychom tu čtyřku taky potřebovali přepsat pomocí logaritmu a to můžeme udělat tak, že tady uděláme jeden takový trik, který se často používá. My si tu čtyřku vynásobíme jedničkou, to je věc, kterou vždycky můžeme udělat, protože když nějaké číslo vynásobíme jedničkou, tak jeho hodnotu tím nezměníme. A my jsme to udělali z toho důvodu, že jednička se dá totiž napsat jako logaritmus deseti a to z toho důvodu, že my tady máme dekadický logaritmus, protože ten základ u toho logaritmu není nikde napsaný, můžeme tedy automaticky předpokládat, že to je desítka. Pokud máme dekadický logaritmus, tak ten logaritmus funguje takovým způsobem, že my vezmeme ten základ, ten umocníme tady na tohle číslo a dostaneme tohle číslo, jehož logaritmus my hledáme. A ono platí, že deset na první je rovno deset. Čili tahle desítka na tuhle jedničku je rovno této desítce, to tedy znamená, že my tu jedničku skutečně můžeme přepsat jako logaritmus deseti. Tady na té pravé straně tedy můžeme psát, že to je čtyři krát a místo té jedničky budeme psát právě ten logaritmus deseti. A teď to pořád ještě nemáme v tom tvaru, který bychom potřebovali, my bychom tady na té pravé straně potřebovali mít pouze logaritmus, ale my ten logaritmus máme násobený čtyřkou. A my teď použijeme další pravidlo, které nám říká, že pokud logaritmus máme násobený nějakým číslem, tak my to číslo můžeme vzít a můžeme ho přepsat jako exponent tady u toho argumentu v tom logaritmu. A když to uděláme, tak dostaneme logaritmus, na té levé straně máme tedy x na dvanáctou a na té pravé straně budeme mít logaritmus, a teď tady tu čtyřku přepíšeme sem a bude to tedy deset na čtvrtou. A teď už jsme to právě převedli do toho tvaru, že na levé straně máme logaritmus něčeho, na pravé straně máme máme taky logaritmus něčeho a teď tu rovnici můžeme odlogaritmovat a musí tedy platit rovnost mezi těmi argumenty těch logaritmů, že x na dvanáctou je rovno tady tomu argumentu deset na čtvrtou. A tím jsme tedy zjistili, čemu se rovná x na dvanáctou, ale my bychom potřebovali zjistit, čemu se rovná samotné x a to my uděláme tak, že celou tuhle rovnici teď umocníme na jednu dvanáctinu. A když to uděláme, tak na té levé straně budeme mít x na dvanáctou a to celé na jednu dvanáctinu a na pravé straně máme deset na čtvrtou a to celé na jednu dvanáctinu. A my jsme to udělali z toho důvodu, že tady se teď používá takové pravidlo, že pokud máme nějaký výraz na nějakou mocninu, a to celé máme na nějakou další mocninu, tak ty exponenty se mezi sebou násobí, čili my tady teď musíme vynásobit tuhle dvanáctku s touto jednou dvanáctinou. A dvanáctkrát jedna dvanáctina, to je dvanáct dvanáctin a to je jedna. Čili my tady teď dostaneme x na první rovná se a na té pravé straně máme deset na čtvrtou a to celé na jednu dvanáctinu. Zase ty exponenty musíme mezi sebou vynásobit a když to uděláme, tak budeme mít, že čtyři krát jedna dvanáctina a to jsou čtyři dvanáctiny. A to ještě můžeme upravit dál, protože ty čtyři dvanáctiny, to je zlomek, který můžeme zkrátit, můžeme ho zkrátit čtyřma a dostaneme, že to je deset na jednu třetinu. A vyšlo nám tedy že x na první, což je vlastně x, je rovno deset na jednu třetinu. A to ještě můžeme přepsat, protože deset na jednu třetinu, to není nic jiného třetí odmocnina z deseti, čili můžeme ten výsledek napsat tak, že to x je třetí odmocnina z deseti.

Doslovný přepis videa

My tady teď máme exponenciální rovnici, čtyřikrát šestnáct na tři x mínus jedna rovná se šedesát čtyři na čtyři x plus tři. A ta rovnice je exponenciální, protože ta neznámá x se nachází tady v exponentu. My takovouto rovnici můžeme řešit například takovým způsobem, že se pokusíme ji převést do tvaru, kde budeme mít na obou stranách té rovnice stejné číslo, které bude na nějaký exponent. Takže když si to napíšeme matematicky, tak bychom potřebovali, abychom na levé straně té rovnice měli nějaké číslo na nějaký exponent a na pravé straně abychom dostali úplně stejné číslo, které bude na nějaký jiný exponent. A pokud se nám tu rovnici podaří skutečně převést do takovéhoto tvaru, tak potom musí platit rovnost mezi těmi exponenty. Musí platit, že to P je rovno Q. No a tím dostaneme tady v našem případě lineární rovnici pro tu neznámou x a tu už pak bude snadné vyřešit. Tak my tady vidíme, že my tu rovnici v tom tvaru nemáme. My tady máme čísla čtyři, šestnáct a šedesát čtyři. Ale my můžeme využít toho, že tahle čísla se dají přepsat jako mocniny čtyřky. Konkrétně platí, že čtyřka je čtyři na první, šestnáctka je čtyři na druhou a šedesát čtyři je čtyři na třetí. A když toho teď využijeme, tak tu rovnici můžeme přepsat, takovým způsobem, že budeme mít čtyři krát a teď místo téhle šestnáctky napíšeme čtyři na druhou a to teď máme na tenhle exponent, čili dáme to do závorky a bude to na tři x mínus jedna. A na té pravé straně máme šedesát čtyřku, tu si napíšeme jako čtyři na třetí a to celé je na tento exponent čtyři x plus tři. A tu rovnici teď budeme upravovat a použijeme takové pravidlo, které nám říká, že když máme nějaký výraz na nějakou mocninu a to celé máme na nějakou další mocninu, tak ty exponenty se mezi sebou násobí. Takže my to teď můžeme přepsat tak, že to bude čtyři krát, teď napíšeme tuhle čtyřku a ta bude na exponent, který dostaneme tak, že mezi sebou vynásobíme tuhle dvojku tady s tímto exponentem. Takže já to napíšu, že to je dvakrát závorka a do té závorky přepíšu tady tento exponent, to je tři x mínus jedna. A stejnou úpravu uděláme i na pravé straně, že mezi sebou vynásobíme tady tu trojku tady s tímto exponentem a bude to čtyři na tři krát čtyři x plus tři. Teď použijeme další pravidlo, které se používá a to pravidlo nám říká, že pokud mezi sebou násobíme dva výrazy, které mají stejný základ mocniny, tak jako to máme tady tak ty jejich exponenty se potom sčítají. My tady máme čtyři a to si můžeme představit jako čtyři na první a násobíme to s číslem čtyři na nějaký exponent. Ty základy těch mocnin jsou tady stejné, to je ta čtyřka, čili my můžeme teď tyhle dva exponenty mezi sebou sečíst a můžeme to přepsat pomocí jednoho výrazu, že to bude čtyři na dva krát tři x mínus jedna, čili to je tento exponent a k tomu teď přičteme tuhle jedničku a dáme plus jedna. Tu pravou stranu si opíšeme, to je čtyři na tři krát čtyři x plus tři. A teď jsme to přesně převedli tady do tohoto tvaru, který máme zde, že na obou stranách té rovnice máme stejné číslo, to je v našem případě ta čtyřka, to máme umocněné na nějaký exponent a aby takováto rovnice byla splněna, tak určitě musí platit rovnost mezi těmi exponenty. Čili my teď můžeme napsat, že dvakrát tři x mínus jedna plus jedna, to je tady tento exponent se musí rovnat tady tomu exponentu. To je tři krát čtyři x plus tři. A tím tedy dostáváme lineární rovnici. Tu teď budeme řešit tak, že teď tady roznásobíme ty závorky. Na té levé straně máme dva krát tři x, to je šest x, potom dvakrát mínus jedna, to je mínus dva, pak tady máme plus jedničku a na pravé straně máme tři krát čtyři x, to je dvanáct x a tři krát tři, to je plus devět. Tady teď vidíme, že tahle dvě čísla můžeme sečíst a budeme mít šest x a mínus dva plus jedna, to je mínus jedna, je rovno, na pravé straně máme dvanáct x plus devět. Teď tady těchto šest x si převedeme na druhou stranu, takže odečteme šest x a na té levé straně nám zůstane mínus jednička a na pravé straně máme dvanáct x mínus šest x, to je šest x, potom tady máme plus devět. Teď se zbavíme tady této plus devítky a to uděláme tak, že tu devítku odečteme, dáme mínus devět. Na levé straně té rovnice budeme mít mínus jedna mínus devět, to je mínus deset a na pravé straně nám zůstane už jenom to šest x. A tady z této rovnice teď vyjádříme to x tak, že tu rovnici vydělíme tou šestkou a když to uděláme, tak nám vyjde, že to x je rovno mínus deset děleno šesti. A tady tento zlomek můžeme ještě zkrátit dvěma a když to uděláme, tak nám vyjde, že to je mínus pět třetin.

Doslovný přepis videa

V tomto příkladě je naším úkolem vyřešit soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé. Ta první rovnice je mínus x plus dvě y rovná se nule. Ta druhá rovnice je sedm x plus čtyři y rovná se dva. A tady se nabízí použít takzvanou sčítací metodu, protože když tu první rovnici vynásobíme sedmičkou, tak tady dostaneme mínus sedm x, v té druhé rovnici máme plus sedm x. Když ty rovnice potom sečteme tak ty x nám vypadnou a dostaneme jednu rovnici pro jednu neznámou. To znamená, že dáme krát sedm a budeme mít mínus sedm x plus 14 y rovná se nule. To je ta první rovnice, tu druhou rovnici opíšeme. To je sedm x plus čtyři y rovná se dva. A teď obě ty rovnice sečteme. Mínus sedm x plus sedm x, to je nula, proto jsme tu první rovnici násobili sedmičkou. A teď máme 14 y plus čtyři y to je 18 y rovná se nula plus dva, to je dva. Takže dostali jsme 18 y rovná se dvěma. To teď vydělíme osmnácti, abychom vyjádřili to y a vyjde nám, že y rovná se dvě osmnáctiny a to můžeme zkrátit a to je jedna devítina. Tím jsme tedy dostali y a teď potřebujeme ještě dostat x a to uděláme tak, že tady to y, které nám vyšlo, dosadíme do jedné z těch dvou rovnic. Například hned do té první, tam máme mínus x plus dvě y, takže to je dva krát a y je jedna devítina rovná se nule. Máme tedy, že mínus x plus dvě devítiny rovná se nule. Teď to x převedeme na druhou stranu a vyjde nám že dvě devítiny rovná se x, nebo-li x rovná se dvě devítiny. A ten výsledek teď můžeme zapsat, že jsou to dvě devítiny, to je to x a to y je jedna devítina.